TY - JOUR ID - TI - NON-STANDARD DISCRETIZATION METHODS FOR SOME BIOLOGICAL MODELS AU - Shawki A. M. Abbas PY - 2009 VL - 12 IS - 1 SP - 126 EP - 133 JO - Al-Nahrain Journal of Science مجلة النهرين للعلوم SN - 26635453 26635461 AB - It has been observed for some time that the standard (classical) discretization methods of differential equations often produce difference equations that do not share their dynamics Mickens[21]. An illustrative example is the logistic difference equations .Where x(t) represent the density of species A at time t,  is positive number, Euler’s discretization scheme produces the logistic difference equation x(n+1) = x (n) (1-x(n)), Which possesses a remarkably different dynamics such as period-doubling bifurcation route to chaos. A more popular discretization method is to modify the given differential equation to another with piecewise-constant arguments and then to integrate the modified equation. In some instance, this produces a different equation whose dynamics is closed to its original differential equation. However, oftentimes this is not the case. Nevertheless, many authors [1, 3, 7, 8, 9, 10] find it interesting to study the resulting difference equations. This is not a criticism of these author’s research, since the study of nonlinear difference equations is of paramount importance regardless of whether or not they have connections with differential equations. But what we are actually saying is that from the point of view of numerical analysis such study is of less importance. This paper itself with those numerical schemes that produce difference equations whose dynamics resembles that of their continuous counter-parts. The most fruitful methods are those of Mickens[14] (for asymptotically stable systems) and of Kahan[16] (for periodic systems).The paper is organized as follows. Section 2 establishes the basic stability results for Lotka-Volterra differential systems. Section 3 surveys some classical discretization methods that are widely used and show their shortcomings. Section 4 provides the reader with essential intgredients of Mickens nonstandard discretization scheme. In section 5, we discretize a periodic Lotka-Volterra differential system using Kahan’s scheme[16]. It is shown that the solutions of the resulting difference equation lie on closed curves surrounding the positive equilibrium point. In section 6, we consider a Kolmogrove continuous model of cooperative system[13]. This model was discretized in[7] using the method of piecewise-constant argument. Surprisingly, the resulting difference equation is dynamically consistent with its continuous counterpart.

لقد لوحظ لمدة من الزمن أن الطرائق المتقطعة (القياسية) المعيارية للمعادلات التفاضلية غالبا ما تنتج معدلات فروق لا تتشارك معها بالديناميكية، والمثال التوضيحي هو المعادلة التفاضلية الشائعة:- خطة اويلر(Euler's) المتقطعة تنتج معادلات فروق شائعة. والتي تمتلك بصورة واضحة ديناميكية مختلفة، مثلا لها تفرع دوري مضاعف بصورة فوضوية، طرق حل المعادلات الشائعة المتقطعة هي بتغيير المعادلات التفاضلية المعطاة إلى أخرى متقطعة بصورة ثابتة، ومن ثم نكامل المعادلات المحورة.في بعض الأمثلة هذا ينتج معادلة فروق التي ديناميكيتها قريبة من المعادلات الأصلية. مع ذلك في اغلب الأحيان فان المعادلات المذكورة أنفاً ليست تكاملية دائما مع إن المؤلفين [1، 3، 7، 8، 9، 10] يبدون اهتماما بدراسة النتائج للمعادلات التفاضلية. ولسنا هنا في موضع نقد لبحوث المؤلفين، منذ ذلك الحين معادلات الفروق غير الخطية ذات أهمية رئيسة بغض النظر إذا كانت أو لم تكن ذات ارتباط بالمعادلات التفاضلية. ولكن ما نقوله حقيقة انه من وجهة نظر التحليل العددي فان تلك الدراسة ذات أهمية اقل.هذا البحث يتضمن في ذاته المخططات العددية التي تنتج معادلات فروق التي ديناميكيتها مشابهة إلى القسم المكمل المستمر. أغلب الطرائق الناتجة منسوبة إلىMickens [14] (الأنظمة المقاربة للاستقرار) والىKahan [16] (الأنظمة الدورية).نظم البحث بالشكل الآتي الجزء الأول يمثل عرض موجز للبحث. الجزء الثاني أظهر النتائج الثابتة لطريقة (Lotka-Volterra) للأنظمة التفاضلية أما الجزء الثالث فهو نظرة عامة لبعض الطرائق القياسية التي تستعمل بشكل واسع وإظهار قصورها، أما الجزء الرابع يقدم للقارئ الأجزاء المقومة الضرورية من Mickens ذات المخطط المتقطع غير القياسي. أما الجزء الخامس فخصص للنظام التفاضلي لـ (Lotka-Voltera) المتقطع الدوري باستخدام مخططKahan’s [16]. لقد تبين أن حل معادلات الفرق الناتجة يقع على منحني مغلق حول نقطة موجبة متوازنة. وفي الجزء السادس نشاهد الأنموذج (Kolmogorov) مستمر لنظام مساعد[13]، هذا الأنموذج الذي قطَّع في[7] مستخدمين المناقشة على طريقة القطعة الثابتة، للاستزادة ينظر[21]. ER -