TY - JOUR ID - TI - Representaion of Algebraic Integers as Sum of Units over the Real Quadratic Fields تمثيل الأعداد الجبرية للحقل التربيعي الحقيقي كمجموع لوحدات الحقل الأساسية AU - Saad A. Baddai سعد عبود بدّاي PY - 2020 VL - 17 IS - 1 Supplement SP - 348 EP - 352 JO - Baghdad Science Journal مجلة بغداد للعلوم SN - 20788665 24117986 AB - In this paper we generalize Jacobsons results by proving that any integer α in Q(√d),(d>0,d is a square-free integer), belong toW_t. All units of Q(√d) are generated by the fundamental unit ε^n,(n≥0) having the formsε=t+√d,d≢1(mod4)ε=[(2t-1)+√d]/2,d≡1(mod4)Our generalization build on using the conditionst+1=ε±ε^(-1)+(1-t),t=ε±ε^(-1)+(1-t).This leads us to classify the real quadratic fields Q√d into the sets W_1,W_2,W_3… Jacobsons results shows that Q√2,Q√5∈W_1 and Sliwa confirm that Q√2 and Q√5 are the only real quadratic fields in W_1.

في هذا البحث تم تعميم نتائج الباحث جاكوبسن بأستخدام الوحدات الأساسية للحقل التربيعي الحقيقي ممثلة في الشرطين التاليين:t+1=ε±ε^(-1)+(1-t),t≥1عندما d≢1(mod4), ε=t+√d والشرط الثاني هو t=ε±ε^(-1)+(1-t),t≥2, وبأستخدام هذه الشروط أستطعنا أثبات أن الحقل التربيعي ε=[(2t-1)+√d]/2 ,d≡1(mod4)عندما الحقيقي Q(√d) في الجموعة W_t حيث أن المجموعة W_t تمثل مجموعة كل الحقول التربيعية التي تمثل اعدادها كتجمع لوحدات بتكرار عدده t≥1,t. وبذلك يتم تصنيف الحقول Q(√d) وفق للقيم t في المجاميع W_1,W_2,W_3,… حيث أن جاكوبسن برهن أن الحقلين التربيعيين Q(√5),Q(√2)ينتميان للمجموعة W_1 كذلك برهن الباحث (J.Silwa) بأن Q(√5),Q(√2) هما الحقلان الوحيدان في المجموعة W_1. ER -