TY - JOUR ID - TI - Positively Invariant Sets in Sliding Mode Control Theory with Application to Servo Actuator System with Friction* AU - Dr. Shibly Ahmed AL-Samarraie** PY - 2010 VL - 10 IS - 1 SP - 121 EP - 134 JO - IRAQI JOURNAL OF COMPUTERS, COMMUNICATIONS, CONTROL AND SYSTEMS ENGINEERING المجلة العراقية لهندسة الحاسبات والاتصالات والسيطرة والنظم SN - 18119212 AB - Abstract:In this paper two invariant sets are derived for a second order nonlinear affine system using a sliding mode controller. If the state started in these sets, it will not leave it for all future time. The invariant set is found function to the initial condition only, from which the state bound is estimated and used when determining the gain of the sliding mode controller. This step overcomes an arithmetic difficulty that consists of calculating suitable controller gain value that ensures the attractiveness of the switching manifold. Also, by using a differentiable form for the approximate signum function in sliding mode controller formula, the state will converge to a positively invariant set rather than the origin. The size of this set is found function to the parameters that can be chosen by the designer, thus, it enables us to control the size of the steady state error. The sliding mode controller is designed to the servo actuator system with friction where the derived invariant sets are used in the calculation of the sliding mode controller gain. The friction model is represented by the major friction components; Coulomb friction, the Stiction friction, and the viscous friction. The simulation results demonstrate the rightness of the derived sets and the ability of the differentiable sliding mode controller to attenuate the friction effect and regulate the state to the positively invariant set with a prescribed steady state error.

الخلاصة:في هذا البحث تم إشتقاق مجموعتين من المجاميع الامتغيرة لمنظومة ديناميكية لاخطية من الدرجة الثانية مسيطر عليها بواسطة منظومة المسيطر المنزلق. في هذه المجاميع إذا نشأ متغير الحالة بداخلها فسوف لن يغادرها أبدا. وجدت المجموعة الامتغيرة دالة للشروط الإبتدائية فقط والتي يمكن منها تخمين المحدد لمتغير الحالة و إستخدامه في حساب معامل المسيطر المنزلق. هذه الخطوة تمكننا من تجاوز صعوبة حسابية متمثلة بقيمة هذا المعامل والذي يضمن جاذبية سطح التحول (switching manifold). أيظا إن إستخدام دالة تقريبية قابلة للإشتقاق لدالة الإشارة (signum function) سيجعل متغير الحالة يقترب ويبقى في مجموعة لامتغيرة بدلا من نقطة الأصل. إن حجم هذه المجموعة يمكن إختياره من قبل المصمم وهو ما يعني قابلية التحكم بمقدار الخطأ الدائمي. صمم المسيطر المنزلق لمنظومة الدافع المؤازر (servo actuator) بوجود الإحتكاك حيث تم إستخدم المجموعة الامتغيرة لحساب معامل المسيطر المنزلق. تم تمثيل الإحتكاك (النموذج الرياضي) بعناصر الإحتكاك الرئيسية: إحتكاك Coulomb , إحتكاك Stiction والإحتكاك اللزج. إن نتائج المحاكات بينت صحة المجاميع الامتغيرة التي تم إشتقاقها و قدرة المسيطر المنزلق في تقويض وإضعاف تأثير الإحتكاك وأيظا أظهرت قدريه على قيادة متغير الحالة الى المجموعة الامتغيرة والتي تم فيها تحديد مقدار الخطأ الدائمي مسبقا. ER -