TY - JOUR ID - TI - Flat) Modules that are Fully Invariant in Their Pure-Injective (Cotorsion) Envelopes AU - Mehdi Sadik Abbas PY - 2011 VL - 22 IS - 4 SP - 351 EP - 359 JO - Al-Mustansiriyah Journal of Science مجلة علوم المستنصرية SN - 1814635X 25213520 AB - In this paper, we introduced two concepts. A module M is said to be purely quasi-injective (resp. quasi-cotorsion) if it is fully invariant in its pure-injective envelope (resp. if it is flat and fully invariant in its cotorsion envelope). Endomorphism rings of both of the above types of modules are proved to be regular and self injective modulo their Jacobson radicals. If M is a purely quasi-injective (resp. quasi-cotorsion) module, then so is any finite direct sum of copies of M. Each of the above concepts is stronger than the well-known concept of quasi-pure-injectivity, but not equivalent. This solves, negatively, a problem of Mao and Ding's of whether every flat quasi-pure-injective module is fully invariant in its cotorsion envelope. Certain types of rings are characterized in terms of purely quasi-injective modules. For example, a ring R is regular iff every purely quasi-injective R-module is quasi-injective, and is pure-semisimple iff every R-module is purely quasi-injective.

في هذا البحث قدمنا مفهومين. يقال للمقاس M أنه شبه غامر بشكل نقي (شبه مرافق ملتو على الترتيب) إذا كان تام الاستقرارية في غلافه الغامر النقي (إذا كان مسطحاً وتام الاستقرارية في غلافه المرافق الملتوي على الترتيب). برهنا أن لكلا النوعين من المقاسات أعلاه حلقة التشاكلات الذاتية مقسومةً على جذرها الجاكوبسن تكون منتظمة وغامرة ذاتياً. إذا كان M مقاساً شبه غامر بشكل نقي (شبه مرافق ملتو على الترتيب) فكذلك يكون أي مجموع مباشر منته لنسخ من M. كل من المفهومين أعلاه أقوى من المفهوم المعروف للمقاسات شبه الغامرة النقية إلا أنهما غير مكافئين له. وهذا يحل سلباً سؤالاً لـ(ماو) و(دنك) حول كون كل مقاس مسطح شبه غامر نقي مقاساً تامَ الاستقرارية في غلافه المرافق الملتوي. ميزنا بعض الأنواع من الحلقات بدلالة المقاسات شبه الغامرة بشكل نقي. على سبيل المثال، الحلقة R تكون منتظمة إذا وفقط إذا كان كل مقاس شبه غامر بشكل نقي على R مقاساً شبه غامر، وتكون R شبه بسيطة نقية إذا وفقط إذا كان كل مقاس على R شبه غامر بشكل نقي. ER -