The intention of this paper is to find the composition series of the FS5 – second natural representation module , when F be a field of a characteristic 2, by analysis the construction of this module and it’s sub modules, in particular the Specht module . We mention that using the reducible property is necessary in order to get the desired objective of this paper.

يهدف هذا البحث الى ايجاد المتسلسلات التركيبية لموديول التمثيل الطبيعي الثاني على حلقة الزمرة FS5 عندما يكون F حقلا ذا مميز 2، من خلال تحليل البناء التركيبي للموديول والموديلات الجزئية له، وخاصة موديول سبخت . نشير هنا الى ان استخدام خاصية الاختزال سيكون ضرورياً لبلوغ الهدف من هذا البحث.

The intention of this paper is to find the exact and split sequences of the sub modules of FW6-second and third pair of hooks representation modules, when F be a field of characteristic 0 . This intention is revealing by presenting the main results theorems (3-1) and (3-2), where we gave two of this kind of sequences.0 0 Here we refer that depending on the structural constructing of the elements (modules) of these sequences or it‘s sub modules by counting the dimensions was essential for proving these theorems.

يهدف هذا البحث الى إيجاد متسلسلات مضبوطة (exact) ومنفلقة (split) لموديولات جزئية من موديولات التمثيل للزوج الثاني من السسناريات وموديولات التمثيل للزوج الثالث من السسناريات ومن النوعين الأول والثاني على جبر الزمرة FW6 ، عندما يكون F حقلا ذا مميز 0 .وتجلى هذا الهدف بتقديم النتائج الأساسية من خلال المبرهنتين (3-1) و(3-2) حيث قدمنا اثنتين لهذا النوع من المتسلسلات. وهنا نشير إلى أن الاعتماد على البناء التركيبي لعناصر(موديولات) هذه المتسلسلات او الموديولات الجزئية لها من خلال حساب البعد (dimension) لها كان أساسيا في إثبات هذه المبرهنات.

Let R be a 2-torision free prime ring and σ, τ∈ Aut(R). Furthermore, G: R×R→R is a symmetric generalized (σ, τ)-Biderivation associated with a nonzero (σ, τ)-Biderivation D. In this paper some certain identities are presented satisfying by the traces of G and D on an ideal of R which forces R to be commutative.

لتكن R حلقة أولية إلتوائها 2 وكل من σ, τ تشاكلات تقابلية ذاتية. فضلا عن ذلك G: R×R ⟶Rهي دالة ثنائية المشتقات(σ, τ)- المُعَمَّمة المتناظرة مترافقة مع دالة ثنائية المشتقات(σ, τ)- المتناظرة D. في هذا البحث قدمنا بعض المتطابقات التي تحققها دوال الأثر لكل من G و D على مثالي ما في R التي تفرض على الحلقة R الخاصية الإبدالية.

Prime rings --- Symmetric generalized --- σ --- τ-Biderivation --- Trace of biadditive mappings --- Commuting mappings. --- الحلقات الأولية --- ثنائية المشتقاتσ --- τ --- - المُعَمَّمة المتناظرة --- دوال الأثر للدوال ثنائية الخطية --- الدوال التبادلية.