This deals with estimation of Reliability function and one shape parameter (β) of two- parameters Burr – XII , when α(shape parameter is known) (α=0.5,1,1.5) and also the initial values of (β=1), while different sample shze n= 10, 20, 30, 50) bare used. The results depend on empirical study through simulation experiments are applied to compare the four methods of estimation, as well as computing the reliability function . The results of Mean square error indicates that Jacknif estimator is better than other three estimators , for all sample size and parameter values

يهتم هذا البحث بمسألة تقدير دالة المعولية لتوزيع Burr-XII بمعلمتين. يتم في هذا البحث تقديم طرائق مختلفة لتقدير معلمة الشكل β بأعتبار ان معلمة الشكل αمعلومة (0.5 , 1 , 1.5)ومن ثم دالة المعولية لذلك التوزيع وبحجم عينة مختلف (n =10, 20, 30, 50) وأيضا برنامج يوضح عمل تلك الطرائق، كما تم إجراء دراسة تجريبية لغرض المقارنة وإثبات كفاءة تلك الطرائق عملياً وذلك من خلال الاعتماد على مشاهدات مولدة من توزيع Burr-XII بمعلمتين وتمت المقارنة بالاعتماد على متوسط مربعات الخطاء الخاص بكل طريقة. وقد تبين أن طريقة مقدر Jackknife أكفاء من باقي المقدرات ولجميع إحجام العينات وقيم المعلمات المستعملة في الدراسة .ا

لكلمات المفتاحية: توزيع Burr-XII --- دالة المعولية --- طرائق تقدير --- مقارنة الطرائق --- المحاكاة .

This work, deals with Kumaraswamy distribution. Kumaraswamy (1976, 1978) showed well known probability distribution functions such as the normal, beta and log-normal but in (1980) Kumaraswamy developed a more general probability density function for double bounded random processes, which is known as Kumaraswamy’s distribution. Classical maximum likelihood and Bayes methods estimator are used to estimate the unknown shape parameter (b). Reliability function are obtained using symmetric loss functions by using three types of informative priors two single priors and one double prior. In addition, a comparison is made for the performance of these estimators with respect to the numerical solution which are found using expansion method. The results showed that the reliability estimator under Rn and R3 is the best.

هذا العمل ، يتعامل مع توزيع كوارسوامي. لقد اظهر كوارسوامي في ( 1976، 1978) ان دوال توزيع الاحتمالات المعروفة جيدًا مثل الطبيعي، بيتا و اللوغاريتم الطبيعي ولكن في (1980) طور كوارسوامي دالة الكثافة الاحتمالية الأكثر عمومية لعمليات عشوائية مزدوجة الحدود ، والتي تعرف باسم توزيع كوارسوامي. يتم استخدام الطرائق الكلاسيكية وطرق تقدير بايز لتقدير معلمة الشكل غير المعروفة (b). يتم الحصول على دالة المعولية باستخدام دوال الخسارة المتماثلة باستخدام ثلاثة أنواع من الدوال الاولية المعلوماتية اثنان منها دوال اولية مفردة والاخرى دالة اولية ثنائية. بالإضافة إلى ذلك ، يتم إجراء مقارنة حول أداء هذه المقدرات مع الحل العددي الذي تم ايجاده باستخدام طريقة التوسيع. أظهرت النتائج أن مقدّر المعولية تحت Rn و R3 هو الأفضل.

Bayes methods --- Expansion method --- Kumaraswamy distribution --- Power function --- Reliability function. --- طرق بايز --- طريقة التوسيع --- توزيع كوارسوامي --- دالة القوة --- دالة المعولية.

The comparison of double informative priors which are assumed for the reliability function of Pareto type I distribution. To estimate the reliability function of Pareto type I distribution by using Bayes estimation, will be used two different kind of information in the Bayes estimation; two different priors have been selected for the parameter of Pareto type I distribution . Assuming distribution of three double prior’s chi- gamma squared distribution, gamma - erlang distribution, and erlang- exponential distribution as double priors. The results of the derivaties of these estimators under the squared error loss function with two different double priors. Using the simulation technique, to compare the performance for each estimator, several cases from pareto type I distribution for data generating, and for different samples sizes (small, medium, and large). It has been obtained from the simulation results the double prior distribution of gamma-erlang distribution with give a good estimation for reliability function when the true value for for all .Also the double prior distribution chi- gamma square distribution with give good estimation for reliability function when the true value for all t. And the same thing for with the values of the parameters and for all t except t=1.3. It has obtained a good estimation for reliability function ( ), when the double prior distribution is chi-gamma square distribution with at the true value for for all t.

في هذا البحث , نقدم مقارنة لتقديردالة المعولية لتوزيع باريتو من النوع الاول بالاعتماد على اسلوب بيز فقد استعملت الدوال معلوماتية مضاعفة التي تفترض لمعلمة الشكل لتوزيع باريتو من النوع الاول, لتقدير دالة المعولية لتوزيع باريتو من النوع الاول باستعمال تقدير بيز استخدمنا نوعين مختلفين من المعلومات في طريقة تقدير بيز, اختيرت نوعين مختلفين من الدوال الاولية لمعلمة الشكل لتوزيع باريتو من النوع الاول.هنا افترضنا توزيع مربع كاي – كاما , وتوزيع كاما – ارلنك, وتوزيع ارلنك- الاسي كدوال معلوماتية مضاعفه, نتائج الاشتقاقات لتلك المقدرات باستعمال دالة الخسارة التربيعية مع ثلاثة دوال معلوماتية مضاعفه. استعمل اسلوب المحاكاة في مقارنة اداء كل مقدر, بافتراض عدة حالات لمعلمة الشكل لتوزيع باريتو من النوع الاول استعملت لتوليد البيانات ولاحجام مختلفة من العينات ( صغيرة , متوسطة , كبيرة ). استحصلنا من نتائج المحاكاة بان التوزيع الاولي المضاعف توزيع كاما – ارلنك بالمعلمات يعطي تقدير جيد لدالة المعولية عندما تكون القيمة الحقيقية لـ لكل قيم . وكذلك التوزيع الاولي المضاعف توزيع مربع كاي – كاما بالمعلمات يعطي تقدير جيد لدالة المعولية عندما تكون القيمة الحقيقية لـ لكل قيم t. والشئ نفسه لـ بقيم المعلمات ولكل قيم t عدا t=1.3. واستحصلنا على تقدير جيد لدالة المعولية عندما كان التوزيع الاولي المضاعف توزيع مربع كاي – كاما بالمعلمات عند القيمة الحقيقة لـ ولكل قيم t.

Pareto type I distribution --- reliability function --- bayes method --- double prior distributions --- chi-gamma square distribution. gamma- erlang distribution --- erlang exponential distribution --- the squared error loss function --- توزيع باريتو من النوع الاول --- دالة المعولية --- طريقة بيز --- الدوال المعلوماتية المضاعفة : توزيع مربع كاي- كاما --- توزيع كاما - ارلنك --- التوزيع ارلنك- الاسي --- دالة الخسارة التربيعية.

An estimation of reliability function for the Two-Parameter Weibull distribution by using the Mont-Carlo method of simulation to compare the following estimation methods, Maximum Likelihood Method, Method of Moments, Least Square Method, to find the best method of estimation this function, The researcher find that the Maximum Likelihood approach is the best in estimation of reliability function comparing with the other method of estimation through depending on the statistical standard Integral Mean Squared Error (IMSE).

تم تقدير دالة المعولية لتوزيع وايبل ذي المعلمتين (The Two – Parameter Distribution) Weibull من خلال توظيف أسلوب المحاكاة (Simulation) بطريقة مونت كارلو (Mont-Carlo) للمقارنة بين طرائق التقدير الأتية، طريقة الإمكان الأعظم، طريقة العزوم، طريقة المربعات الصغرى، بغية الوصول الى افضل طريقة لتقدير تلك الدالة، وقد توصل الباحث الى أفضلية طريقة الإمكان الأعظم في تقدير دالة المعولية مقارنة مع باقي طرائق التقدير وذلك بالاعتماد على المقياس الإحصائي متوسط مربعات الخطأ التكاملي (Integral Mean Squared Error (IMSE)).

Reliability --- Reliability Function --- The Two-Parameter Weibull Distribution --- Maximum Likelihood --- MLE --- Method of Moments --- MOM --- Least Squared Method --- LS --- IMSE. --- المعولية، دالة المعولية، توزيع وايبل ذي المعلمتين، طريقة الإمكان الأعظم، طريقة العزوم، طريقة المربعات الصغرى، معيار متوسط مربعات الخطأ التكاملي IMSE.