In this paper, we introduce the generating function, Mehler’s formula, Roger’s formula, the linearization formula and the inverse relation of the linearization formula of the polynomials G_n (x;q), which is defined by L.Carlitz [3]. Also we introduce an extension of the generating function and extension of the Roger’s formula, the extended generating function of G_n (x;q) involves a 2ϕ1 sum and the extended Rogers formula involves a 3ϕ2 sum. All identities will be derived depending on the roles of the exponential operator E(θ) after representing the polynomials G_n (x;q) by this operator.

سنقدم في هذا البحث الدالة المولدة وصيغة ملر وصيغة روجر والصيغة الخطية ومعكوس الصيغة الخطية لمتعددات الحدود G_n (x;q) (المعرفة في المصدر [3]). كذلك سنقدم توسيعا ً للدالة المولدة وتوسيعا ً لصيغة روجر لمتعددات الحدود G_n (x;q) , حيث سيحتوي توسيع الدالة المولدة على المجموع 2ϕ1 , أما توسيع صيغة روجر فسيحتوي المجموع 3ϕ2 .كل المتطابقات المقدمة في هذا البحث ستشتق بالأعتماد على قوانين المؤثر الأسي E(θ) بعد أستخدام هذا المؤثر في تمثيل متعددات الحدود G_n (x;q) .

The exponential operator --- generating function --- Mehler’s formula --- Rogers formula --- linearization formula --- extended generating function --- extended Rogers formula.

In this study, we derived the estimation for Reliability of the Exponential distribution based on the Bayesian approach. In the Bayesian approach, the parameter of the Exponential distribution is assumed to be random variable .We derived posterior distribution the parameter of the Exponential distribution under four types priors distributions for the scale parameter of the Exponential distribution is: Inverse Chi-square distribution, Inverted Gamma distribution, improper distribution, Non-informative distribution. And the estimators for Reliability is obtained using the two proposed loss function in this study which is based on the natural logarithm for Reliability function .We used simulation technique, to compare the resultant estimators in terms of their mean squared errors (MSE).Several cases assumed for the parameter of the exponential distribution for data generating of different samples sizes (small, medium, and large). The results were obtained by using simulation technique, Programs written using MATLAB-R2008a program were used. In general, we obtained a good estimations of reliability of the Exponential distribution under the second proposed loss function according to the smallest values of mean squared errors (MSE) for all samples sizes (n) comparative to the estimated values for MSE under the first proposed loss function

في هذا البحث نشتق تقدير معولية التوزيع الاسي الاعتماد على اسلوب بيز .تفترض معلمة التوزيع الاسي لتكون متغيرا عشوائيا في اسلوب بيز.نشق التوزيع اللاحق لمعلمة التوزيع الاسي باستعمال اربعة توزيعات اولية لمعلمة القياس للتوزيع الاسي هي:توزيع معكوس مربع كاي وتوزيع معكوس كاما وتوزيع غير الملائم (Improper) وتوزيع Non-informative.وتستحصل مقدرات المعولية باستعمال دالتين خسارة مقترحه في هذا البحث التي تعتمد على اللوغاريتم الطبيعي لدالة المعولية . استعملنا اسلوب المحاكاة لمقارنة المقدرات الناتجه بدلالة متوسط مربعات الاخطاءها .افترضت عدة حالات لمعلمة التوزيع الاسي لتوليد البيانات ولاحجام عينات مختلفة ( الصغيرة , المتوسطة ,و الكبيرة).الستحصلت النتائج باستعمال أسلوب المحاكاة,بكتابة برامج باستخدام MATLAB-R2008a. عموما , حصلنا على تقديرات جيدة لمعولية التوزيع الاسي باستعمال دالة الخسارة المقترحة الثانية , وفقا لاصغر قيمة لمتوسط مربعات الاخطاء (MSE) ولكل احجام العينات مقارنة بالمقيم المقدرة لمتوسط مربعات الاخطاء باستعمال دالة الخسارة المقترحة الاولى

The Exponential --- Bayes method --- the prior distributions: Inverse Chi-square distribution --- Inverted Gamma distribution --- improper distribution --- non-informative distribution --- mean squared errors --- MSE. --- التوزيع الاسي --- طريقة بيز --- التوزيعات الأولية : توزيع معكوس مربع كاي --- توزيع معكوس كاما --- توزيع غير الملائم Improper --- توزيع Non-informative --- متوسط مربعات الخطاء MSE --- .

In this study, different estimators were used for estimating scale parameter for Exponential distribution, such as maximum likelihood estimator, moment estimator and the Bayes estimator, in six types when the prior distribution for the scale parameter is: Levy distribution, Gumbel type-II distribution, Inverse Chi-square distribution, Inverted Gamma distribution, improper distribution, Non-informative distribution. Under El-Sayyad's loss function .we used simulation technique, to compare the performance for each estimator, several cases from Exponential distribution for data generating, for different sample sizes (small, medium, and large). Simulation results shown that The best method is the bayes estimation ,when the prior distribution for is improper distribution with (a=9, b=1) and for the values for the parameters of the El-Sayyad 's loss function is ( ),when the true value of ( ).And the non-informative distribution with ( c=8) and for the values for the parameters of the El-Sayyad 's loss function is ( ), when the true value of ( ).Also the non-informative distribution with ( c=8) and for the values for the parameters of the El-Sayyad 's loss function is ( ),when the true value of ( ), according to the smallest values of MSE for all samples sizes (n) comparative to the estimated values by using Maximum likelihood estimation method (MLE) and Moment estimation method (ME).

في هذا البحث ,استعملنا طرائق مختلفة لتقدير معلمة القياس للتوزيع الاسي كمقدر الإمكان الأعظم ومقدر العزوم ومقدر بيز في ستة انواع مختلفة عندما يكون التوزيع الاولي لمعلمة القياس : توزيع لاف (Levy) وتوزيع كامبل من النوع الثاني وتوزيع معكوس مربع كاي وتوزيع معكوس كاما وتوزيع غير الملائم (Improper) وتوزيع Non-informative وفقا لدالة خسارة EL-Sayyad. استعمل اسلوب المحاكاة في مقارنة اداء كل مقدر, بافتراض عدة حالات لمعلمة القياس للتوزيع الاسي استعملت لتوليد البيانات ولاحجام مختلفة من العينات (صغيرة, متوسطة, كبيرة). وقد اظهرت نتائج المحاكاة بان طريقة بيز الافضل عندما يكون التوزيع الاولي لـ التوزيع غير الملائم (Improper) عند قيم معلمتي التوزيع الاولي (a=9, b=1) ,ولقيم معلمتي دالة خسارة EL-Sayyad عندما تكون القيمة الحقيقة لوتوزيع Non-informative عند قيمة معلمة التوزيع الاولي (c=8) ,ولقيم معلمتي دالة خسارة EL-Sayyad عندما تكون القيمة الحقيقة لـ.وكذلك توزيع Non-informative عند قيمة معلمة التوزيع الاولي (c=8) ,ولقيم معلمتي دالة خسارة EL-Sayyad عندما تكون القيمة الحقيقة لـ , وفقا لمقياس اقل قيمة متوسط مربع الاخطاء (MSE) لكل احجام العينات , مقارنة بنفس القيم المستحصلة بطريقتي .MLE و ME

The Exponential --- Maximum likelihood estimation --- Moment estimation --- Bayes method --- the prior distributions: Levy distribution --- the Gumbel type-II distribution --- Inverse Chi-square distribution --- Inverted Gamma distribution --- improper distribution --- non-informative distribution --- El-Sayyad's loss function --- mean squared errors --- MSE. --- التوزيع الاسي --- طريقة الإمكان الأعظم --- طريقة العزوم --- طريقة بيز --- التوزيعات الأولية : توزيع لافي Levy --- توزيع كامبل من النوع الثاني --- توزيع معكوس مربع كاي --- توزيع معكوس كاما --- توزيع غير الملائم Improper --- توزيع Non-informative. دالة EL-Sayyad --- متوسط مربعات الاخطاء MSE